Metody estymacji modelu Proporcjonalnych Hazardów Coxa w wypadku występowania zdarzeń powiązanych

Abstrakt

Model proporcjonalnych hazardów Coxa jest jedną z najczęściej wykorzystywanych metod w analizie czasu przeżycia. Jest oparty na kilku restrykcyjnych założeniach; jedno z nich dotyczy występowania tzw. zdarzeń powiązanych, tzn. zdarzeń zaobserwowanych dokładnie w tym samym momencie. Gdyby czas był mierzony w sposób ciągły, taka sytuacja nie miałaby miejsca. W zastosowaniach praktycznych jednakże czas jest zazwyczaj mierzony w sposób dyskretny, co skutkuje występowaniem zdarzeń powiązanych w większości zbiorów wykorzystywanych w analizie czasu przeżycia. Niemniej jednak, odchylenie od tego założenia nie musi stanowić przeszkody w stosowaniu modelu Coxa. Niniejszy artykuł prezentuje pięć sposóbów proponowanych w literaturze dla zbiorów zawierających zdarzenia powiązane. Na podstawie przeprowadzonych obliczeń można stwierdzić, że metoda exact oraz model dyskretny dają najlepsze rezultaty pod względem statystyk dopasowania, jednakże są najbardziej czasochłonne. Przybliżenia Breslowa i Efrona pozwalają otrzymać oszacowania znacznie szybciej, ale skutkują gorszą jakością dopasowania modelu. W rozważanym przykładzie przybliżenie Efrona jest najlepszym wyborem, biorąc pod uwagę różnice w oszacowaniach parametrów, statystyki dopasowania modelu oraz czas obliczeń. Ponadto prosta metoda oparta na odjęciu od każdej wartości zmiennej czasowej pośród zdarzeń powiązanych niewielkiej wartości wylosowanej z rozkładu jednostajnego, daje zaskakująco dobre wyniki zarówno pod względem oszacowań parametrów, jak i statystyk dopasowania modelu. Ogólnie rzecz biorąc, w przypadku dużych zbiorów i/lub dużej liczby zdarzeń powiązanych, jeśli precyzja estymacji nie jest priorytetem, a ważniejszy jest czas obliczeń, przybliżenia Breslowa lub Efrona mogą być wykorzystane. Jednakże jeśli czas nie jest ograniczony, warto rozważyć wybór metody exact lub modelu dyskretnego, które umożliwiają otrzymanie lepszych statystyk dopasowania modelu oraz wyższej efektywności oszacowań parametrów.